UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUERRERO
FACULTAD DE INGENIERÍA
INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN
UNIDAD DE APRENDIZAJE
MÉTODOS NUMÉRICOS
DOCENTE
LORENA ALONSO GUZMÁN
ALUMNO
CESAR CARRANZA ARIZMENDI
GRUPO
401
CONTENIDO
1.-INTRODUCCIÓN
2.-DEFINICIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS
2.1.-APROXIMACIÓN Y ERRORES
2.2.-EXACTITUD
2.3.-PRECISIÓN
2.4.-INCERTIDUMBRE
2.4.1.-SESGO
2.5.-ERRORES HUMANOS
2.6.-SERIE DE TAYLOR
3.-CONCEPTOS BÁSICOS
3.1.-ALGORITMOS
3.2.-APROXIMACIONES
4.-TIPOS DE ERRORES
4.1.-ERROR ABSOLUTO
4.2.-ERROR RELATIVO
4.3.-ERROR PORCENTUAL
4.4.-ERRORES DE REDONDEO
4.5.-ERROR DE TRUNCAMIENTO
5.-CONVERGENCIA
6.-PROGRAMAS DE COMPUTO
7.-CONCLUSIÓN
8.-BIBLIOGRAFÍA
1.- INTRODUCCIÓN
La mayor parte de las matemáticas estudiadas hasta ahora se han dedicado a desarrollar métodos que nos proporcionen la solución exacta de un problema.
Desgraciadamente, en la gran mayoría de los casos que se presentan en la práctica, estos métodos no son de aplicación.
Ello puede deberse a que el método para calcular la solución exacta sea muy complicado, o que no se conozca un método adecuado, o incluso que no exista un método que nos permita, mediante cálculos elementales, encontrar la solución.
En estos casos es necesario recurrir a métodos numéricos,denominados así porque, usualmente, consisten en realizar una sucesión más o menos larga de operaciones numéricas (normalmente mediante la ayuda de una computadora), al cabo de las cuales encontramos un valor numérico que, si bien no es la solución exacta del problema, se le parece mucho ,es decir, aproxima la solución buscada con una precisión razonablemente buena.
2.-DEFINICIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS
Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos (operaciones aritméticas elementales, cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo preposicional,etc.).
Un tal procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas (algoritmo), que producen o bien una aproximación de la solución del problema (solución numérica) o bien un mensaje.
La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación depende, en parte, de la facilidad de implementación del algoritmo y de las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (las computadoras).
2.1.-APROXIMACIÓN Y ERRORES
2.2.-EXACTITUD
Se refiere a cuán cerca del valor real se encuentra el valor medido.
En términos estadísticos, la exactitud está relacionada con el sesgo de una estimación.
Cuanto menor es el sesgo más exacto es una estimación.
2.3.-PRECISIÓN
Se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la dispersión mayor la precisión. Una medida común de la variabilidad es la desviación estándar de las mediciones y la precisión se puede estimar como una función de ella.
2.4.-INCERTIDUMBRE
Incertidumbre también se le conoce como imprecisión.
Se refiere al grado de alejamiento entre sí, a las diversas aproximaciones a un valor verdadero.
Situación bajo la cual se desconocen las probabilidades de ocurrencia asociados a los diferentes resultados de un determinado evento.
2.4.1.-SESGO
Existe sesgo cuando la ocurrencia de un error no aparece como un hecho aleatorio (al azar) advirtiéndose que este ocurre en forma sistemática.
Es un alejamiento sistemático del valor verdadero a calcular.
2.5.-ERRORES HUMANOS
Son los errores por
negligencia o equivocación. Las computadoras pueden dar números erróneos por su
funcionamiento. Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es
atribuido a los hombres. Se pueden evitar con un buen conocimiento de los
principios fundamentales y con la posesión de métodos y el diseño de la
solución del problema. Los errores humanos por negligencia son prácticamente inevitables,
pero se pueden minimizar.
Tipos de errores humanos
• Lectura
• Transmisión
• Transcripción
• Programación
2.6.-SERIE DE TAYLOR
Es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como (x-a)^ ( x-a )^n llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto {a} suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. A la serie centrada sobre el punto cero, {a=0}, se le denomina también serie de McLaurin.
Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:
Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:
1.- la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;
2.- se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;
3.- es posible calcular la optimidad de la aproximación.
3.-CONCEPTOS BÁSICOS
3.1.-ALGORITMOS
Los procedimientos empleados para resolver problemas específicos de métodos numéricos son “ALGORITMOS”.
Un ALGORITMO es un procedimiento que indica la serie de pasos y decisiones que se ejecutan para la solución de un problema.
Las características de un algoritmo son las siguientes:
- FINITO.- Debe terminar en un número determinado de pasos.
- DEFINIDO.- Las acciones deben definirse sin ambigüedad.
- ENTRADA.- Puede tener una o varias entradas.
- SALIDA.- Debe tener una o mas salidas.
- EFECTIVIDAD.- Todas las operaciones deben ser lo suficientemente básicas para que puedan hacerse exactamente en un determinado tiempo, no mayor que el que le tome a una persona empleando lápiz y papel.
3.2.-APROXIMACIONES
Aproximar un numero ciertas cifras decimales consiste en encontrar un numero con las cifras pedidas que este muy próximo al numero dado.
Aproximar un numero ciertas cifras decimales consiste en encontrar un numero con las cifras pedidas que este muy próximo al numero dado.
En la aproximación por defecto se busca el numero con un determinado numero de cifras que es menor que el dado.
La aproximación por exceso es cuando el numero con las cifras decimales fijadas es inmediatamente mayor al numero dado.
Por ejemplo, dado el número 1.3456 vamos a aproximarlo con dos cifras decimales:
a) por defecto es 1.34
b) por exceso es 1.35
Al dar la aproximación en lugar del número se comete un error, en el ejemplo anterior los errores que se cometen son:
a) | 1.3456 - 1.34 | = 0.0056
b) | 1.3456 - 1.35 | = 0.0044
Redondear un numero consiste en dar la mejor de las aproximaciones, es aquella con la que se comete un error menor, en el caso anterior si se redondea 1.3456 a dos cifras decimales, el redondeo sera 1.35.
4.-TIPOS DE ERRORES
Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Para los tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dado por:
E = P* - P
Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto definido como:
EA = | P* - P |
4.2.-ERROR RELATIVO
Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.
Y el error relativo como
ER = | P* - P| / P , si P =/ 0
Ejemplo:
Supongamos que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniéndose 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores son 10 000 y 10 cm, calcular
a) el error.
b) el error relativo porcentual de cada caso.
Solución:
a) El error de medición del puente es:
EA = 10 000 - 9 999 = 1cm
y para el remache es de
EA = 10 - 9 = 1cm
b) El error relativo porcentual para el puente es de:
ERP = 1/ 10 000 x 100% = 0.01%
y para el remache es de
ERP = 1/10 x 100% = 10%
Solución:
a) El error de medición del puente es:
EA = 10 000 - 9 999 = 1cm
y para el remache es de
EA = 10 - 9 = 1cm
b) El error relativo porcentual para el puente es de:
ERP = 1/ 10 000 x 100% = 0.01%
y para el remache es de
ERP = 1/10 x 100% = 10%
Por lo tanto ambas medidas tiene un error de 1 cm, el error relativo porcentual del remache es mucho metros mas grande. Se puede concluir que se ha hecho un buen trabajo en la medida del puente, mientras que la estimación para el remache deja mucho que desear.
4.3.-ERROR PORCENTUAL
Es simplemente el error relativo expresado en por ciento (%). También es usual emplear el valor absoluto en los parámetros anteriores, en cuyo caso se de dominan respectivamente error absoluto, error relativo absoluto y error porcentual absoluto.
4.4.-ERRORES DE REDONDEO
Error de redondeo. La casi totalidad de los números reales requieren, para su representación decimal, de una infinidad de dígitos. En la práctica, para su manejo sólo debe considerarse un número finito de dígitos en su representación, procediéndose a su determinación mediante un adecuado redondeo.
Los errores de redondeo se deben a que las computadoras sólo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes. Por ejemplo, si sólo se guardan siete cifras significativas, la computadora puede almacenar y usar "pi" como "pi" = 3.141592, omitiendo los términos restantes y generando un error de redondeo.
Ya que la mayor parte de las computadoras tiene entre 7 y 14 cifras significativas, los errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del porqué pueden resultar crítico en algunos métodos numéricos:
Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una respuesta. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de cálculos puede ser significativo.
El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya que este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar de mucha importancia.
Las siguientes reglas dan la pauta a seguir en el redondeo de números cuando se realizan cálculos a mano.
En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se descarta. El último dígito que se conserva se aumenta en uno si el primer dígito descartado es mayor de 5. De otra manera se deja igual. Si el primer digito descartado es 5 o es 5 segundo de ceros. entonces el último dígito retenido se incrementa en 1, sólo si es impar.
En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se descarta. El último dígito que se conserva se aumenta en uno si el primer dígito descartado es mayor de 5. De otra manera se deja igual. Si el primer digito descartado es 5 o es 5 segundo de ceros. entonces el último dígito retenido se incrementa en 1, sólo si es impar.
En la suma y en la resta, el redondeo se lleva acabo de forma tal que el último dígito en la columna de las milésimas.
Para la multiplicación y para la división el redondeo es tal que la cantidad de cifras significativas del resultado es igual al número más pequeño de cifras significativas que contiene la cantidad en la operación.
Para combinaciones de las operaciones aritméticas, existen dos casos generales. Se puede sumar o restar el resultado o de las divisiones.
(Multiplicación o División) +/- (multiplicación o división)
(Multiplicación o División) +/- (multiplicación o división)
o también se pueden multiplicar o dividir los resultados de las sumas y las restas.
Ejemplos:
Los siguientes ejemplos tiene por objeto ilustrar las reglas de redondeo.
5.6723 -------------------------- 5.67´ 3 Cifras Significativas
10.406 ---------------------------- 7.4 4 Cifras Significativas
10.406 ---------------------------- 7.4 2 Cifras Significativas
88.21650 ------------------- 88.216 5 Cifras Significativas
1.25001 -------------------------- 1.3 2 Cifras Significativas
Ejemplos:
Los siguientes ejemplos tiene por objeto ilustrar las reglas de redondeo.
5.6723 -------------------------- 5.67´ 3 Cifras Significativas
10.406 ---------------------------- 7.4 4 Cifras Significativas
10.406 ---------------------------- 7.4 2 Cifras Significativas
88.21650 ------------------- 88.216 5 Cifras Significativas
1.25001 -------------------------- 1.3 2 Cifras Significativas
4.5.-ERROR DE TRUNCAMIENTO
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Además para obtener conocimiento de las características de estos errores se regresa a la formulación matemática usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar Funciones en forma polinomial: Serie de Taylor.
5.-CONVERGENCIA
Se entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que, al realizar un buen número de repeticiones (iteraciones), las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado.
En la medida en la que un método numérico requiera de un menor número de iteraciones que otro, para acercarse al valor numérico deseado, se dice que tiene una mayor rapidez de convergencia. Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivel de garantía de convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre convergen y, por el contrario divergen; es decir, se alejan cada vez más y más del resultado deseado.
En la medida en la que un método numérico, ante una muy amplia gama de posibilidades de modelado matemático, es más seguro que converja que otro, entonces se dice que tiene una mayor estabilidad.
Normalmente se puede encontrar métodos que convergen rápidamente, pero son demasiado inestables y, por el contrario, modelos muy estables, pero de lenta convergencia.
En Métodos numérico la velocidad con la cual una sucesión converge a su límite es llamada orden de convergencia. Este concepto es, desde el punto de vista práctico, muy importante si necesitamos trabajar con secuencias de sucesivas aproximaciones de un método iterativo. Incluso puede hacer la diferencia entre necesitar diez o un millón de iteraciones.
En Métodos numérico la velocidad con la cual una sucesión converge a su límite es llamada orden de convergencia. Este concepto es, desde el punto de vista práctico, muy importante si necesitamos trabajar con secuencias de sucesivas aproximaciones de un método iterativo. Incluso puede hacer la diferencia entre necesitar diez o un millón de iteraciones.
6.-PROGRAMAS DE COMPUTO
NAG (Numerical Algorithms Group)
El Grupo de Algoritmos numéricos (NAG) ha desarrollado una biblioteca de Fortran conteniendo alrededor de 1000 subrutinas accesibles al usuario para resolver problemas generales de matemáticas aplicadas, incluyendo: ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, transformada rápida de Fourier, cuadratura, álgebra lineal, ecuaciones no lineales, ecuaciones integrales, y más.
IMSL
La biblioteca numérica de Fortran IMSL hecha por Visual Numerics, Inc. cubre muchas de las áreas contenidas en la biblioteca NAG. También tiene soporte para analizar y presentar datos estadísticos en aplicaciones científicas y de negocios.
MATLAB
Es un programa de cálculo numérico, orientado a matrices y vectores. Por tanto desde el principio hay que pensar que todo lo que se pretenda hacer con él, será mucho más rápido y efectivo si se piensa en términos de matrices y vectores.
GNU OCTAVE
Es un programa libre para realizar cálculos numéricos. Como indica su nombre es parte de proyecto GNU. MATLAB es considerado su equivalente comercial. Entre varias características que comparten se puede destacar que ambos ofrecen un intérprete permitiendo ejecutar órdenes en modo interactivo. Nótese que Octave no es un sistema de álgebra computacional como podría ser GNU Máxima, sino que usa un lenguaje que está orientado al análisis numérico.
Excel
Excel es una hoja de cálculo producida por Microsoft, Inc. Las hojas de cálculo son un tipo especial de software para matemáticas que permite al usuario ingresar y realizar cálculos en renglones y Pseudocódigo para una función que resuelve una ecuación diferencial columnas de datos. Como tales, son una versión computarizada de una gran hoja de contabilidad en la que se lleva a cabo una gran cantidad de cálculos interrelacionados.
7.-CONCLUSIÓN
Como podemos ver que los métodos numéricos pueden aplicarse en distintos campos, para encontrar resultados aproximados a sistemas complejos utilizando sólo las operaciones matemáticas más simples, es importante conocer los métodos numéricos para facilitarnos la resolución de problemas matemáticos que tienen múltiples aplicaciones en la vida real además de que nos permite resolverlos con mayor eficiencia, es por ello que es preciso manejar modelos que faciliten la resolución de estos.
8.-BIBLIOGRAFÍA
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA, ING. RICARDO SEMINARIO VASQUEZ, http://disi.unal.edu.co/~lctorress/MetNum/LiMetNu2.pdf
Métodos numéricos Versión: 7 http://departamento.us.es/edan/php/asig/GRABIO/GBM/Tema4.pdf
http://itpn.mx/recursosisc/4semestre/metodosnumericos/Unidad%20I.pdfhttp://itpn.mx/recursosisc/4semestre/metodosnumericos/Unidad%20I.pdf
Análisis Numérico Richard L. Burden J. Douglas Faires
Steven C, Chapra Métodos Numéricos para Ing.6ta ed; Mac Graw Hill.
Métodos numéricos. Introducción, aplicaciones y propagación. Antonio Huerta Cerezuelo, Barcelona, 1998, págs. 72-77.
