Metodos numericos unidad 4

Contenido 

• Introducción
• Método de Newton-Cotes
• Método Trapezoidal
• Método Trapezoidal compuesto
• Método de Simpson 1/3
• Método de Simpson 3/8
• Cuadratura de Gauss
• Diferenciación Numérica
• Bibliografía  

La integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. 


Método de Newton-Cotes

Las fórmulas de Newton - Cotes son los tipos de integración numérica más comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados por un polinomio de aproximación que es fácil de integrar: 

 donde f_n(x) es un polinomio de la forma

donde n es el grado del polinomio. Por ejemplo, en la Figura 1 se utiliza un polinomio de primer grado como una aproximación, mientras que en la Figura 2, se emplea una parábola con el mismo propósito.

La integral también se puede aproximar usando un conjunto de polinomios aplicados por pedazos a la función o datos, sobre segmentos de longitud constante. Así, en la Figura 3, se usan tres segmentos de línea recta para aproximar la integral.

El grado de precisión de una fórmula de integración numérica es el número natural n que verifica que el error de truncamiento E[Pi]=0 para todos los polinomios Pi(x) de grado i ≤ n, y existe un polinomio Pn+1(x) de grado n+1 tal que E[Pn+1]≠0.

Método Trapezoidal

La regla del trapecio es la primera de las fórmulas cerradas de Newton - Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de aproximación es de primer grado:

Teniendo en cuenta que la ecuación de la recta que pasa por los puntos (a;f(a)) y (b;f(b)) es:

El área bajo esta línea recta en el intervalo [a;b] está dada por:

Esta integral constituye una aproximación de la integral de f(x) en dicho intervalo. El resultado de la integral anterior es: 

que se denomina regla del trapecio.

Geométricamente, la regla del trapecio consiste en aproximar el área debajo de la curva definida por f(x), por el área bajo la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Recuerde que la fórmula para calcular el área de un trapecio es la altura por el promedio de las bases.  

Cuando se emplea la integral bajo un segmento de línea recta para aproximar la integral bajo una curva, obviamente se tiene un error que puede ser importante. Una estimación del error de truncamiento E de la regla del trapecio es:

donde ξ Є (a;b). La expresión anterior indica que si la función a integrar es lineal, la regla del trapecio será exacta. Es decir, la regla del trapecio tiene grado de precisión  n = 1. Además, sólo es posible aplicar la regla del trapecio si f(x) es de clase C²[a;b].

 Método Trapezoidal compuesto



Una forma de mejorar la precisión de la regla del trapecio consiste en dividir el intervalo de integración [a;b] en varios segmentos, y aplicar el método a cada uno de ellos. Las áreas de los segmentos se suman después para obtener una aproximación de la integral en todo el intervalo. Las expresiones resultantes se llaman fórmulas de integración, de aplicación múltiple o compuestas.

La siguiente figura muestra el formato general y la nomenclatura que se usará para obtener integrales de aplicación múltiple.

Si hay n+1 puntos igualmente espaciados, existen n segmentos del mismo ancho:

Si a y b se designan como x₀ y x_n, respectivamente, la integral completa se representará como:

 Sustituyendo la regla del trapecio en cada integral se obtiene:
 

o, agrupando términos:

El error que se comete al aplicar la regla compuesta del trapecio está dado por:

Esto significa que el error es de orden O(h2). Además, cuando las derivadas de f(x) se conocen, es posible estimar el número de sub-intervalos necesarios para alcanzar la precisión deseada.




Método de Simpson 1/3


Los ingenieros encuentran con frecuencia el problema de integrar funciones que están definidas en forma tabular o en forma gráfica y no como funciones explícitas, se pueden utilizar métodos gráficos, pero los métodos numéricos son mucho mas precisos.

La integración numérica consiste en encontrar una buena aproximación al área bajo la curva que representa una función f(x), que ha sido determinada a partir de datos experimentales o a partir de una expresión matemática.

Las formulas de cuadratura de Newton-Cotes son los procedimientos mas comunes de integración numérica, se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados con una función aproximada que sea fácil de integrar, estas son:

- La regla de integración Trapezoidal.

- La regla de Simpson.

Estas reglas están diseñadas para casos en los que los datos a integrarse están espaciados de manera uniforme.

A continuación se describe la regla de integración de Simpson 1/3 para la “integración cerrada” es decir, para cuando los valores de la función en los extremos de los límites de integración son conocidos.

Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentación mas fina, otra forma de obtener una estimación mas exacta de una integral es con el uso de polinomios de orden superior para conectar los puntos (en lugar de utilizar líneas para conectarlos).

Las reglas de Simpson son las fórmulas que resultan al tomar las integrales bajo los polinomios que conectan a los puntos.

El método de Integración Simpson 1/3 consiste en tomar el área bajo una parábola que conecta tres puntos, como se muestra en la siguiente gráfica:

Dada una función tabular con espaciamientos constantes, de la forma:

La fórmula de integración de Simpson 1/3 es la siguiente: 

Método de Simpson 3/8

De manera similar a la obtención de la regla del trapecio y Simpson, es posible ajustar un polinomio de Lagrange de tercer grado a cuatro puntos e integrarlo: 

para obtener:

donde h=(b-a)/3. Esta expresión se llama regla 3/8 de Simpson debido a que h se multiplica por 3/8. Ésta es la tercera fórmula de integración cerrada de Newton - Cotes.



 Cuadratura de Gauss

El objetivo de la cuadratura de Gauss es determinar las abscisas x1 y x2 y dos coeficientes w1 y w2 de manera que la fórmula: 

sea exacta para polinomios cúbicos de la forma f(x) = a₃x³ + a₂x² + a₁x +a₀. Como hay que determinar cuatro números w₁, w₂, x₁ y x₂ en la expresión anterior, se deben seleccionar cuatro condiciones que deben cumplirse. Usando el hecho de que la integración es aditiva, será suficiente con exigir que la integral anterior sea exacta para las cuatro funciones f(x) = 1, x, x², x³. Por lo tanto, las cuatro condiciones de integración son:

De esta manera, el sistema de ecuaciones no lineales que se debe resolver es:

La solución del sistema anterior está dada por:

Así, se ha encontrado los nodos y los coeficientes o pesos con los que se construye la cuadratura de Gauss. En consecuencia, si f es continua en [-1;1], resulta:

La cuadratura de Gauss con dos nodos G2(f) tiene grado de precisión n=3 y si f Є C4[-1;1], entonces,

 siendo

para algún punto ξ Є [-1;1].

 Diferenciación Numérica

Por definición la derivada de una función ${\displaystyle f(x)}$ es:

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h > 0) serán:

Diferencias hacia adelante:

${\displaystyle f^{\prime }(x_{0})\approx {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}$

Diferencias hacia atrás:

${\displaystyle f^{\prime }(x_{0})\approx {\frac {f(x_{0})-f(x_{0}-h)}{h}}}$

La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la mejor aproximación numérica al problema dado:

Diferencias centrales:

${\displaystyle f^{\prime }(x_{0})\approx {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}}}$

${\displaystyle f^{\prime \prime }(x_{0})\approx {\frac {f(x_{0}+h)-2f(x_{0})+f(x_{0}-h)}{h^{2}}}}$

 Bibliografía  

http://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/IN/
  
http://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/IN/Formulas_Newton_Cotes.html
  
http://test.cua.uam.mx/MN/Methods/Integracion/Simpson13/Simpson13.php

http://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/IN/Cuadraturas_Gauss_Legendre.html