CONTENIDO
1.-INTRODUCCIÓN
2.-MÉTODOS CERRADOS
2.1.-Método Gráfico
2.2.-Método de Bisección
2.3.-Método de falsa posición
3.-MÉTODOS ABIERTOS
3.1.-Interacción simple del punto fijo
3.2.-Método de Newton Rhapson
3.3 Método de la secante
4.-CONCLUSIÓN
5.-BIBLIOGRAFÍA
1.-INTRODUCCIÓN
En esta unidad veremos diferentes tipos de solución de ecuaciones no lineales y las maneras de resolverse a partir de la aplicación de sistemas relacionados con los métodos numéricos así como su clasificación y algunos ejemplos vistos en la clase.
Esto con el objetivo principal del análisis numérico para encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones que se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen una solución aproximada para este tipo de ecuaciones.
2.-MÉTODOS CERRADOS
Como su nombre lo dice este método encierra la función en un intervalo donde dicha función cambia de signo para tener una raíz dentro de este intervalo y luego empezar reducir por medios de algoritmos el tamaño del intervalo se necesita de dos valores iniciales (límite inferior y límite superior) entre los cuales se encuentra la raíz.
2.1.-Método Gráfico
Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación f(x)= 0 consiste en graficar la función y observar en donde cruza el eje x. este punto, que representa el valor de x para la cual f(x)= 0, proporciona una aproximación inicial de la raíz.
Las técnicas gráficas tienen un valor práctico limitado, ya que no son precisas. Sin embargo, los métodos gráficos se pueden usar para obtener aproximaciones de la raíz. Estas aproximaciones se pueden emplear como valores iniciales para los métodos numéricos.
Las interpretaciones gráficas, además de proporcionar aproximaciones iniciales de la raíz, son herramientas importantes en la compresión de las propiedades de las funciones, previendo las fallas de los métodos numéricos.
En este caso las estrellas rojas representan cada raíz que tiene la ecuación, es decir, cada vez que la función corta el eje absciso.
2.2.-Método de Bisección
Este método consiste en obtener una mejor aproximación de la raíz a partir de un intervalo inicial (a,b) en el cual hay un cambio de signo en la función, es decir: f(a)f(b)<0.
Se obtiene el punto medio:
Xm es la nueva aproximación a la raíz, y se vuelve a tomar un intervalo, pero ahora mas pequeño, considerando que siga existiendo un cambio de signo en la función, es decir, el nuevo intervalo queda determinado por:
El método termina cuando se cumple con alguna condición de paro, en este programa la condición es la tolerancia:
Este es un método “de encierro”, para aplicarlo se debe contar con un intervalo inicial, en donde f(a)*f(b) < 0. Este método requiere de menos pasos en un programa, sin embargo converge mas lentamente que el de Newton Raphson.
Los pasos del método son los siguientes:
1.- Localizar un intervalo que contenga al menos una raíz.
2.- Dividir el intervalo en dos partes iguales reteniendo la mitad en donde f(x) cambia de signo, para conservar al menos una raíz.
3.- Repetir el procesó varias veces hasta cumplir con la tolerancia deseada.
f(m) f(b)<0 entonces conservar (m,b) como el sem. intervalo que contiene al menos una raíz.
A cada paso se le llama “iteración” y reduce el intervalo a la mitad. Después de cada iteración el intervalo re reduce a la mitad, después de n iteraciones, el intervalo original se había reducido 2n veces, por lo tanto, si el intervalo original es de tamaño “a” y el criterio de convergencia aplicado al valor absoluto de la diferencia de dos Xm consecutivas es “∈”, entonces se requerían “n” iteraciones donde “n” se calcula con la igualdad de la expresión:
de donde:
iteraciones que se requieren.
2.3.-Método de falsa posición
El método de la falsa posición pretende conjugar la seguridad del método de la bisección con la rapidez del método de la secante. Este método, como en el método de la bisección, parte de dos puntos que rodean a la raíz f(x) = 0, es decir, dos puntos x0 y x1 tales que f(x0)f(x1) < 0.
La siguiente aproximación, x2, se calcula como la intersección con el eje X de la recta que une ambos puntos (empleando la ecuación del método de la secante). La asignación del nuevo intervalo de búsqueda se realiza como en el método de la bisección: entre ambos intervalos, [x0,x2] y [x2,x1], se toma aquel que cumpla f(x)f(x2) < 0.
En la siguiente figura se representa geométrica-mente este método.
La elección guiada del intervalo representa una ventaja respecto al método de la secante ya que inhibe la posibilidad de una divergencia del método. Por otra parte y respecto al método de la bisección, mejora notablemente la elección del intervalo (ya que no se limita a partir el intervalo por la mitad).
En la imagen de arriba se muestra la modificación del método de la falsa posición propuesta por Hamming. La aproximación a la raíz se toma a partir del punto de intersección con el eje X de la recta que une los puntos ( x0,f(x0)/2) y (x1,f(x1)) si la función es convexa en el intervalo (figura a) o bien a partir de la recta que une los puntos (x0,f(x0)) y (x1, f(x1)/2) si la función es cóncava en el intervalo (figura b).
Sin embargo, el método de la falsa posición tiene una convergencia muy lenta hacia la solución. Efectivamente, una vez iniciado el proceso iterativo, uno de los extremos del intervalo tiende a no modificarse. Para obviar este problema, se ha propuesto una modificación del método, denominada método de Hamming. Según este método, la aproximación a una raíz se encuentra a partir de la determinación del punto de intersección con el eje X de la recta que une los puntos ( x0,f(x0)/2) y (x1,f(x1)) si la función es convexa en el intervalo o bien a partir de la recta que une los puntos (x0,f(x0)) y (x1, f(x1)/2) si la función es cóncava en el intervalo.
Como hemos comentado, el método de Hamming requiere determinar la concavidad o convexidad de la función en el intervalo de iteración. Un método relativamente sencillo para determinar la curvatura de la función consiste en evaluar la función en el punto medio del intervalo, f(xm) (en donde xm se calcula como en el método de la bisección) y comparar este valor con la media de los valores de la función en los extremos del intervalo,
3.-MÉTODOS ABIERTOS
3.1.-Interacción simple del punto fijo
El método de punto fijo o de aproximaciones sucesivas es, junto con el de Bisección, uno de los primeros métodos que se utilizaron para resolver ecuaciones algebraicas y trascendentes.
No obstante que en la actualidad existen otros métodos más eficientes, el de punto fijo se considera el más simple en sus principios y en él se pueden apreciar claramente todas las características de un método de aproximaciones sucesivas.
Sea F(x) = 0 una ecuación algebraica o trascendente cualquiera.
Se suma x en ambos miembros y se obtiene: (1)F(x) + x = x
donde el miembro izquierdo es otra función de x que se define como (2)
donde el miembro izquierdo es otra función de x que se define como (2)
G(x) + x = x
Se sustituye en la ecuación (1): (3)
x = G(x)
Observe ahora que cualquier ecuación puede representarse en esta forma, siguiendo el procedimiento anterior.
Si x = a es una raíz de la ecuación, entonces
F (a) = 0
o bien, al sustituir en la ecuación (3)
a = G (a)
El método de aproximaciones sucesivas consiste en sustituir un valor inicial (x0) apropiado (cercano a la raíz) en el segundo miembro de la ecuación (3). Si x0 es la raíz, se deberá cumplir la ecuación (4); esto es:
x0 = G(xo)
pero esto será difícil de que ocurra; seguramente el valor inicial principal proporcionado xo será solo un valor cercano a la raíz. Entonces, en el caso general:
x0 =/ G(x0) o bien, x1 = G(x0)
donde x1 es la nueva aproximación de la raíz a. se sustituye x1 en el segundo miembro de la ecuación (3) y se obtiene:
x2 = G(x1)
Al proceder reiteradamente en esta forma se induce que la n-ésima aproximación es:
Xn = G(Xn-1)
n = 1,2,3,.....
De acuerdo con lo visto en los temas anteriores, puede afirmarse que si el método converge, la diferencia en valor absoluto entre valores proporcionados en dos iteraciones sucesivas será cada vez más pequeña a medida que n aumente, y con esto se tendrá un criterio para saber cuándo termina la aplicación del método.
Es posible afirmar que si en la N-ésima iteración el método se está aproximando a la raíz o converge a ella, entonces:
|G´(t)| = |a - Xn| / |a - Xn-1| <1
Es decir, el método es convergente si:
Se sustituye en la ecuación (1): (3)
x = G(x)
Observe ahora que cualquier ecuación puede representarse en esta forma, siguiendo el procedimiento anterior.
Si x = a es una raíz de la ecuación, entonces
F (a) = 0
o bien, al sustituir en la ecuación (3)
a = G (a)
El método de aproximaciones sucesivas consiste en sustituir un valor inicial (x0) apropiado (cercano a la raíz) en el segundo miembro de la ecuación (3). Si x0 es la raíz, se deberá cumplir la ecuación (4); esto es:
x0 = G(xo)
pero esto será difícil de que ocurra; seguramente el valor inicial principal proporcionado xo será solo un valor cercano a la raíz. Entonces, en el caso general:
x0 =/ G(x0) o bien, x1 = G(x0)
donde x1 es la nueva aproximación de la raíz a. se sustituye x1 en el segundo miembro de la ecuación (3) y se obtiene:
x2 = G(x1)
Al proceder reiteradamente en esta forma se induce que la n-ésima aproximación es:
Xn = G(Xn-1)
n = 1,2,3,.....
De acuerdo con lo visto en los temas anteriores, puede afirmarse que si el método converge, la diferencia en valor absoluto entre valores proporcionados en dos iteraciones sucesivas será cada vez más pequeña a medida que n aumente, y con esto se tendrá un criterio para saber cuándo termina la aplicación del método.
Es posible afirmar que si en la N-ésima iteración el método se está aproximando a la raíz o converge a ella, entonces:
|G´(t)| = |a - Xn| / |a - Xn-1| <1
Es decir, el método es convergente si:
|G´(t)|<1 Xn-1<t<a
Esto significa que el método converge en la n-ésima iteración cuando el valor absoluto de la derivada de G(x) en cualquier punto del intervalo (Xn-1, a) es menor que la unidad.
Por otra parte el método es divergente si
|a - Xn| > |a - Xn-1|
Esto significa que el método converge en la n-ésima iteración cuando el valor absoluto de la derivada de G(x) en cualquier punto del intervalo (Xn-1, a) es menor que la unidad.
Por otra parte el método es divergente si
|a - Xn| > |a - Xn-1|
Recordar que el método de Punto Fijo, nos dice que, solo podrá haber y tener un único punto o raíz.
3.2.-Método de Newton Raphson
Se requiere que las funciones sean diferenciales, y por tanto, continuas, para poder aplicar este método.
Se debe partir de un valor inicial para la raíz: xi , este puede ser cualquier valor, el método convergirá a la raíz mas cercana. Si se extiende una tangente desde el punto
La fórmula de Newton Raphson se deduce a partir de la fórmula de la pendiente de una recta.
Pendiente de una recta:
Hay que determinar un numero máximo de iteraciones
Normalmente esto se hace considerando una “tolerancia” , esto es: El valor absoluto de la diferencia de la
debe ser menor que la tolerancia o el resultado de alguna fórmula de error debe ser menor que la tolerancia dada.
Una de las fórmulas de error mas útiles es la del error relativo porcentual aproximado:
100%
El método de Newton Raphson es convergente cuadrática-mente, es decir, el error es aproximadamente al cuadrado del error anterior.
Esto significa que el numero de cifras decimales correctas se duplica aproximadamente en cada interacción.
Cuando el método de Newton Raphson converge, se obtienen resultados en relativamente pocas interacciones, ya que para raíces no repetidas este método converge con orden 2 y el error Ei+1 es proporcional al cuadrado del resultado anterior Ei
Supongamos que el error en una iteración es 10-n el error en la siguiente, (que es proporcional al cuadrado del error anterior) es entonces aproximadamente 10-2n, el que sigue será aproximadamente 10-4n etc.
De esto puede afirmarse que de cada iteración duplica aproximadamente el numero de dígitos correctos.
Sin embargo el método de Newton Raphson algunas veces no converge, sino que oscila. Esto ocurre si no hay raíz real, si la raíz es un punto de inflexión o si el valor inicial esta muy alejado de la raíz buscada y alguna otra parte de la función “atrapa” la iteración.
Esto significa que el numero de cifras decimales correctas se duplica aproximadamente en cada interacción.
Cuando el método de Newton Raphson converge, se obtienen resultados en relativamente pocas interacciones, ya que para raíces no repetidas este método converge con orden 2 y el error Ei+1 es proporcional al cuadrado del resultado anterior Ei
Supongamos que el error en una iteración es 10-n el error en la siguiente, (que es proporcional al cuadrado del error anterior) es entonces aproximadamente 10-2n, el que sigue será aproximadamente 10-4n etc.
De esto puede afirmarse que de cada iteración duplica aproximadamente el numero de dígitos correctos.
Sin embargo el método de Newton Raphson algunas veces no converge, sino que oscila. Esto ocurre si no hay raíz real, si la raíz es un punto de inflexión o si el valor inicial esta muy alejado de la raíz buscada y alguna otra parte de la función “atrapa” la iteración.
3.3 Método de la secante
El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto. Sin embargo, la forma funcional de f(x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. En estos casos es más útil emplear el método de la secante.
El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximación de acuerdo con la expresión:
El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximación de acuerdo con la expresión:
Representación geométrica del método de la secante.
En la siguiente iteración, emplearemos los puntos x1 y x2para estimar un nuevo punto más próximo a la raíz.
En general, el método de la secante presenta las mismas ventajas y limitaciones que el método de Newton Raphson explicado anteriormente.
4.-CONCLUSIÓN
En esta unidad se encañaron varios métodos para resolver ecuaciones no lineales, el principal objetivo de los métodos numéricos es enseñarnos a resolver problemas sin tener que recurrir a procedimientos muy complejos y en los ejemplos que se han visto se ha observado la facilidad para encontrar raíces y soluciones a ecuaciones que no son tan fáciles de resolver.
5.-BIBLIOGRAFÍA
Apuntes de la clase de métodos numéricos por la Mtra. Lorena Alonso Guzmán.
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